CORPURI ROTUNDE

 

 

CILINDRUL CIRCULAR DREPT

 

Cilindrul este corpul obtinut prin rotirea completa a unui dreptunghi in jurul uneia dintre laturile lui.

 

Cilindru obtinut prin rotirea dreptunghiului AA’O’O in jurul lui OO’

Elementele cilindrului: -doua baze, care sunt cercuri congruente situate in plane paralele. Lungimea razei cercului de baza se numeste raza cilindrului; - inaltimea , este distanta dintre baze ( in figura de mai sus inaltimea este OO’ sau orice segment paralel cu OO’ cuprins intre baze); -generatoarea, care este reprezentata prin orice segment care uneste doua puncte ale cercurilor de baza si este perpendicular pe baze dar si lungimea acestuia ( in figura de mai sus generatoarele notate sunt AA’ si BB’);  -axa cilindrului, este dreapta care uneste centrele bazelor (OO’);- sectiunea axiala, este dreptunghiul care se obtine intersectand cilindrul cu un plan ce contine axa cilindrului (in figura avem reprezentata sectiunea AA’B’B).

Sectionand cilindrul  cu un plan care este paralel cu bazele se obtine un cerc congruent cu bazele cilindrului.

Inaltime si generatoarea cilindrului circular drept sunt egale, deci h=g.

Formule de calcul:

A_l=2prg

A_t=A_l+2A_b=2prg+2pr²=2pr(r+g)

Desfasurarea suprafetei laterale a unui cilindru circular drept este un dreptunghi care are lungimea egala cu lungimea cercului de baza a cilindrului, 2pr, si inaltimea egala cu inaltimea (generatoarea) cilindrului, h.

Dandu-se un o coala dreptunghiulara, prin infasurare se pot obtine doi cilindri diferiti care au aceeasi arie laterala dar volume diferite; cilindrul care are volumul mai mare este cel care inaltimea mai mica.

 

 

CONUL CIRCULAR DREPT

 

Conul este corpul obtinut prin rotirea completa a unui triunghi dreptunghic in jurul uneia dintre catetele lui.

 

Con obtinut prin rotirea triunghiului  VAO in jurul catetei VO

Elementele conului: -o baza, care este un cerc. Lungimea razei cercului de baza se numeste raza conului; - varful, este punctul V din figura de mai sus;- inaltimea , este distanta de la virf la planul bazei ( in figura de mai sus inaltimea este VO); -generatoarea, care este reprezentata prin orice segment care uneste varful cu un  punct al cercului de baza  dar si lungimea acestuia ( in figura de mai sus generatoarele notate sunt VA si VB);  -axa conului, este dreapta care uneste centrul bazei cu varful (VO);- sectiunea axiala, este triunghiul isoscel care se obtine intersectand conul cu un plan ce contine axa conului (in figura avem reprezentata sectiunea  VAB).

Sectionand conul  cu un plan care este paralel cu baza se obtine un cerc..

Inaltime, generatoarea si raza conului circular drept sunt laturi ale unui triunghi dreptunghic. deci h²+r²=g².

Formule de calcul:

A_l=prg

A_t=A_l+A_b=prg+pr²=pr(r+g)

Desfasurarea suprafetei laterale a unui con  circular drept este un sector de disc care are aria  egala cu aria laterala a conului si raza egala cu generatoarea conului. Masura unghiului la centru al acestui sector se poate calcula cu formula:

 

Sectionand un con cu un plan paralel cu baza se obtine un con mic asemenea  cu conul dat. Daca r₁, h₁, g₁ si r₂, h₂, g₂ reprezinta raza, inaltimea si generatoarea unor conuri asemenea, atunci:

 k se numeste raportul de asemanare al celor doua conuri.  Mai mult:

 , ,

unde A₁, A₂  reprezinta ariile (de acelasi tip ale) celor doua conuri, iar V₁ si V₂ sunt volumele lor.

 

 

TRUNCHIUL DE CON CIRCULAR DREPT

 

Trunchiul de con este corpul obtinut prin rotirea completa a unui trapez dreptunghic in jurul laturii perpendiculare pe baze ( sau prin rotirea unui trapez isoscel in jurul dreptei care uneste mijloacele bazelor).

 

Trunchi de con obtinut prin rotirea triunghiului  trapezului AOO’A’ in lui OO’

 

Elementele trunchiului: -doua baze, care sunt cercuri cu raze diferite situate in plane paralele. Lungimile razelor celor doua baze sunt  razele trunchiului; - inaltimea , este distanta dintre planele bazelor( in figura de mai sus inaltimea este OO’ dar si orice segment paralel cu OO’ avand extremitatile situate in cele doua baze); -axa trunchiului, este dreapta care uneste centrele bazelor  (OO’);- sectiunea axiala, este trapezul isoscel care se obtine intersectand trunchiul cu un plan ce contine axa  (in figura avem reprezentata sectiunea  ABB’A’); -generatoarea, care este reprezentata prin orice segment care uneste doua puncte omoloage ale cercurilor celor doua baze  dar si lungimea acestuia. Doua puncte le numim omoloage daca dreapta determinata de ele intersecteaza axa trunchiului ( in figura de mai sus generatoarele notate sunt AA’ si BB’);  

Sectionand trunchiul  cu un plan care este paralel cu baza se obtine un cerc..

Ducand prin B’ o paralela la inaltimea trunchiului obtinem  un triunghi dreptunghic cu laturile de lungime R-r, h si g; conform teoremei lui Pitagora avem h²+(R-r)²=g².

Formule de calcul:

A_l=pg(R+r)

A_t=A_l+A_b+A_B=pg(R+r)+pr²+pR²

Trunchiul de con se poate obtine si prin sectionarea unui con cu un pklan paralel cu baza si eliminarea conului mic care rezulta.  Acest lucru permite stabilirea unor relatii intre elementele conului in fuctie de elementele trunchiului. Am vazut ca cele doua conuri obtinute sunt asemenea, si din relatia

unde numaratorii sunt elemente ale conului mic, si numitorii reprezinta elemente ale conului mare, inlocuind elementele conului mic in functie de elementele conului mare

si ale trunchiului, obtinem

,

formula care leaga direct elementele conului mare de cele ale trunchiului.

Desfasurarea suprafetei laterale a unui trunchi de con  circular drept este un sector de coroana circulara care are aria  egala cu aria laterala a trunchiului. Masura unghiului la centru al acestui sector se poate calcula cu formula:

unde R si G sunt raza si generatoarea conului din care provine trunchiul.

Volumul trunchiului de con poate fi calculat si ca diferenta volumelor celor doua conuri.

V_trunchi=V_{con_mare}-V_{con_mic}

 

 

SFERA

 

Sfera este corpul  care se obtine prin rotirea completa a unui cerc in jurul unui diametru.

 

Elementele sferei: -centrul sferei (O), -raza sferei este segmentul care uneste centrul sferei cu un punct oarecare al sferei dar si lungimea acestuia; -cerc mare  al sferei este orice cerc care are centrul in centrul sferei si raza egala cu raza sferei.

Sectionand sfera cu un plan (care o intersecteaza) se obtine un cerc; intre raza sferei, R, raza cercului de sectiune, r si distanta de la centrul sferei la planul de sectiune, D, are loc relatia :

D²=R²-r²,

din care putem afla una din cele trei valori atunci cand cunoastem doua din ele. Din relatia de mai sus, deducem ca planul intersecteaza sfera daca si numai daca D<R.

In cazul in care D=R, planul este tangent sferei.

Cele doua portiuni de sfera determinate de un plan pe o sfera se numesc calote sferice. In figura de mai sus avem reprezentate doua calote: una este verde si cealalta este galbena (EMF). Aria unei calote sferice este pRh, unde R este  raza sferei iar h este inaltimea calotei (pentru calota verde, h este distanta de la N la CD)

A_sfera=4pR².

Sectionand o sfera cu doua plane paralele se obtine o zona sferica (portiunea galbena ABCD din figura de mai sus). Aria unei zone se determina cu aceeasi formula ca pentru calota, h reprezentand distanta dintre cele doua plane.

Considerand sfera plina (bila sferica) putem defini volumul ocupat de ea prin formula